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Mathe Grundlagen - Klasse 10 - Realschulabschluss/mittlere Reife

Kernaussage: Eine kompakte übersichtliche Darstellung der Mathematik mit vielen Beispielen wird besser verstanden und besser erinnert (siehe auf Learn-Study-Work "Wie lernen - Experten/Anfänger").

 

Übersicht

Es fängt ganz einfach an, weil es den Prüfungsteil ohne Taschenrechner gibt. Ich habe mir die Übungsaufgaben der Bundesländer für den Realschulabschluss angesehen und hier genau das Wissen aufgeführt, welches zum Lösen dieser Aufgaben notwendig ist. Vorteil: Man kann die Teilgebiete sehr schnell durchlesen und sieht, ob man alles verstanden hat.

 

Immer zuerst die Schlussfolgerung lesen. Ist diese bekannt, braucht die Erklärung nicht gelesen werden.

  1. Zahlenarten - Addition/Subtraktion - Multiplikation/Division - Brüche - Potenzen - Maßeinheiten umrechnen
  2. Prozentrechnung
  3. Kombinatorik
  4. Wahrscheinlichkeit
  5. ... Fortsetzung folgt

Zahlenarten

Mathematik Grundlagen - Zahlenarten
Grundlagen Mathematik - Zahlenarten 1

Addition / Subtraktion

Mathematik Grundlagen - Addition - Subtraktion

Klammern werden in der Mathematik zu verschiedenen Zwecken eingesetzt. Hier zeigen sie, welches Vorzeichen zu einer Zahl gehört und welche Operation zuerst ausgeführt werden soll:

 

Bei 6 - (2 + 3) soll zuerst 2 + 3 = 5 gerechnet werden und dann 6 - 5 = 1 .

 

Steht von einer Klammer ein Minuszeichen, muss man die Vorzeichen in der Klammer umkehren, wenn diese wegfallen soll: 6 - (2 + 3) = 6 - 2 - 3 = 1 .

Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, werden die Vorzeichen nicht umgekehrt:

6 + (2 + 3) = 6 + 2 + 3 = 11 .

 

Beim Kopfrechnen ist es einfacher Zahlen zu zerlegen:

Grundlagen Mathematik - Addition - Subtraktion - Kopfrechnen

Schlussfolgerung: Mit dem Zahlenstrahl im Geiste die Größenordnung der Rechnung überprüfen. - Beim Auflösen einer Klammer mit negativem Vorzeichen, das Vorzeichen in der Klammer umkehren. - Beim Kopfrechnen schwierige Zahlen zerlegen.

 

Multiplikation / Division

Auch bei der Multiplikation ist es einfacher Zahlen zu zerlegen, wenn man im Kopf rechnen soll:

Grundlagen Mathematik  - Multiplikation - Division - Kopfrechnen

Beim Rechnen mit Dezimalzahlen muss das Komma an die richtige Stelle gesetzt werden:

Grundlagen Mathematik - Dezimalzahlen

Schlussfolgerung: Beim Rechnen mit Dezimalzahlen die Nachkommastellen abzählen und dies beim Ergebnis berücksichtigen. - Minus mal Minus gibt Plus. - Durch einen Bruch dividieren, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. - Brüche durch Kürzen vereinfachen.

 

Brüche

Brüche können nur addiert oder sustrahiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben. Deshalb müssen Brüche erweitert werden, was bedeutet, dass Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden. Das ist erlaubt, weil a/a = 1 und eine Multiplikation mit 1 verändert nicht den Wert des Bruches.

Grundlagen Mathematik - Brüche

Schlussfolgerung: Brüche müssen auf den gleichen Nenner gebracht werden, bevor sie addiert oder substrahiert werden können.

 

Potenzen

Grundlagen Mathematik - Potenzen 1
Grundlagen Mathematik - Potenzen 2

Für die Addition/Subtraktion gibt es keine entsprechenden Regeln, da ist ein Vereinfachen nicht möglich.

Grundlgen Mathematik - Wurzeln

Schlussfolgerung: Exponent 0 1  -  Exponent negativ   Bruch  -

Exponent Bruch Wurzel  -  Gleiche Basis: Multiplikation Exponenten addieren, Dividion Exponenten substrahieren  -  Gleicher Expoment: Multiplikation und Division Basis zusammen in eine Klammer  -  Gleiche Wurzel: Multiplikation und Division Basis zusammen unter die Wurzel  -  Unter einer Wurzel darf nichts Negatives stehen.  -  Bei einer Addition/Substraktion kann nichts vereinfacht werden.

 

Maßeinheiten umrechnen

Den Wert (mit Einheit), der umgerechnet werden soll, multipliziert man mit einem Bruch, der die gesuchte Einheit im Zähler und die zu verändernde Einheit im Nenner enthält und den Wert 1 hat. Dann kürzt sich die zu verändernde Einheit raus. Eine Multiplikation mit 1 ist erlaubt, weil sie den Ausgangswert nicht verändert.

Grundlagen Mathematik - Einheiten umrechnen

Ich muss also immer wissen, wie die Grundeinheiten umgerechnet werden. Da sollte man diese Vorsilben im Kopf haben:

  • milli - 1/1000
  • centi - 1/100
  • dezi - 1/10
  • kilo - 1000

Gewicht: 1 g = 1000 mg ; 1 kg = 1000 g ; 1 Tonne = 1000 kg

 

Länge: 1 cm = 10 mm ; 1 dm = 10 cm ; 1 m = 100 cm ; 1 km = 1000 m

 

Fläche:  Eine Fläche berechnet sich aus Länge x Länge.

1 cm2 = 100 mm2 = 10 mm x 10 mm ; 1 dm2 = 100 cm2 ;

1 m2 = 10000 cm2 = 100 cm 100 cm ; 1 km2 = 1000000 m2 = 1000 m 1000 m

 

Volumen: Ein Volumen berechnet sich aus Länge x Länge x Länge.

10 mm x 10 mm x 10 mm = 1000 mm3 = 1 cm3 = 1 ml

 

eine Packung Milch hat ungefähr:

10 cm x 10 cm x 10 cm = 1000 cm3 = 1 dm3 = 1000 ml = 1 Liter

100 cm x 100 cm x 100 cm = 1 m3 = 1000 Liter

 

Zeit: 60 s = 1 min, 60 min = 1 h (hour), 24 h = 1 d (day), 365 d = 1 a (year)

 

Schlussfolgerung: Den Wert (mit Einheit), der umgerechnet werden soll, multipliziert man mit einem Bruch, der die gesuchte Einheit im Zähler und die zu verändernde Einheit im Nenner enthält und den Wert 1 hat. - Die Umrechnung der Grundeinheiten und deren Vorsilben muss man auswendig lernen.

 

Prozentrechnung

Bei der Prozentrechnung gibt es 5 Werte, nach denen gefragt werden kann:

Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz 1, Prozentsatz 2 und nach dem Differenzwert zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert. Wenn zwei Werte bekannt sind, können die anderen Werte berechnet werden.

 

75 % bedeutet 75 1/100 = 0,75 . Die 0,75 werden Prozentsatz % genannt. Zu unterscheiden davon ist der Prozentsatz p = 75. Dieses p wird in den Formeln der Prozentrechnung verwendet.

Mathematik Grundlagen ohne Taschenrechner - Basics 1

Beispiel: In einer Klasse sind 24 Schüler, von denen 75 % Rechtshänder sind. Der Anteil der Linkshänder beträgt 25 %, was 24 -18 = 6 Schülern entspricht.

Mathematik Grundlagen ohne Taschenrechner - Basics 2

Wie groß ist der Preisnachlass? Eine Sache kostet 500 Euro. Der Preis wird um 25 % reduziert. Der neue Preis ist 325 Euro. Er ist um 125 Euro reduziert worden.

Mathematik Grundlagen - Prozentrechnung 1

Im Kopf gerechnet: 500 x 0,75 = 1/2 x 1000 x 0,75 = 1/2 x 750 = 375 (Wenn ich mit 1000 rechne, dann mus ich das Ergebnis halbieren.),  500 - 375 = 125

 

Wie groß ist die Mehrwertsteuer? Eine Sache kostet netto 500 Euro. Der Preis mit Mehrwertsteuer soll berechnet werden.

Mathematik Grundlagen - Prozentrechnung 2

Im Kopf gerechnet:  500 1,19 = ½ ⋅ 1000 ⋅ 1,19  =  ½ ⋅ 1190  =  595 ,

500 0,19 = 500 ⋅ (2 ⋅ 0,1  -  0,01) = 500 ⋅ 2 ⋅ 0,1  -  500 ⋅ 0,01  =  2 ⋅ 50  -  5  =  100  - 5  =  95

(10 % von 500 sind 50, dann sind 2 10 % = 20 % = 100, um auf 19% zu kommen muss ich noch 1 % (= 5) abziehen).

 

Schlussfolgerung: Danach kann gefragt werden: Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz des Prozentwertes, Prozentsatz der Veränderung und nach dem Differenzwert zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert. - Sich zuerst selber fragen: Was ist der Grundwert? = Was ist 100 % ? - Die gesuchten Werte mit dem Dreieck "Prozentwert / Grundwert  Prozentsatz %" berechnen. - Prozentsatz % ist z. B. 0,75.

 

Kombinatorik (Reihenfolgen)

Wenn es darum geht wie viele verschiedene Reihenhenfolgen es für die Anordnung von Objekten geht, dann ist diese Frage ein Teilgebiet der Kombinatorik. Für die Art der Reihenfolge gibt es zwei Möglichkeiten:

 

Reihenfolgen ohne Wiederholungen (ohne Zurücklegen)

1. Beispiel: Aus einer Urne mit 3 verschiedenen Kugel werden ohne Zurücklegen nacheinander 3 Kugeln herausgenommen (wie beim Lotto mit 6 Kugeln). Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?

 

Für das erste Herausnehmen (Ziehung) gibt es 3 Möglichkeiten. Danach sind nur noch 2 Kugeln in der Urne übrig. Für die zweite Ziehung gibt es also nur noch 2 Möglichkeiten. Für die dritte Ziehung gibt es nur noch 1 Möglichkeit, weil sich jetzt nur noch eine Kugel in der Urne befindet.

Insgesamt gibt es 3 ⋅  2  ⋅  1  =  6 Möglichkeiten:

Mathematik Grundlagen - Kombinatorik 1

Das Bild (Baumdiagramm) zeigt, dass schon bei der 2. Ziehung 6 verschiedene Reihenfolgen möglich sind. Das erklärt sich dadurch, dass es bei der 3. Ziehung nur noch 1 Kugel in der Urne gibt und man hat keine Wahlmöglichkeit mehr hat.

Mathematik Grundlagen - Kombinatorik 3

2. Beispiel: 5 Personen stellen sich hintereinander auf (5 Personen und 5 "Ziehungen", n = 5 und k = 5).

Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?    5 4 3 2 1 = 120

 

Allgemein: Eine Menge von n Elementen hat  1 2 3 ... ⋅  n  =  n!  Möglichkeiten von Reihenfolgen, wenn alle Elemente "gezogen" werden (n - k = 0). (Ohne Zurücklegen: Die Zahl, mit der bei jeder Ziehung multipliziertwerden muss, verringert sich jeweils um 1.)

 

3. Beispiel: Das obige Baumdiagramm zeigt 3 Ziehungen. Wieviel Möglichkeiten gibt dafür, dass die letzte gezogene Kugel blau ist? Das Diagramm zeigt, dass es 2 Möglichkeiten gibt: grb und rgb. Wie kann das allgemein berechnet werden? Die 3. Ziehung liegt fest (blaue Kugel), also können die ersten beiden Kugeln variieren. Für 2 Kugel und 2 Ziehungen gibt es n! = 2 1 = 2 Möglichkeiten.

Komplizierter: In der Urne gibt es 6 numerierte Kugel und es wird viermal gezogen. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass die vorletze Kugel die Zahlen 5 und die letzte Kugel die Zahl 6 hat? Da die letzten beiden Kugeln festliegen mit den Nummern 5 und 6, können nur bei den ersten beiden Ziehungen die Nummern 1, 2, 3 und 4 variieren.

Mathematik Grundlagen - Kombinatorik 4

Reihenfolgen mit Wiederholungen (mit Zurücklegen)

1. Beispiel: Aus einer Urne mit 3 verschiedenen Kugel wird 2 Mal mit Zurücklegen eine Kugel herausgenommen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?

 

Für das erste Herausnehmen (Ziehung) gibt es 3 Möglichkeiten und für die zweite Ziehung auch 3 Möglichkeiten, weil die gezogene Kugel der ersten Ziehung zurückgelegt wurde. Insgesamt gibt es 3 3 = 9 Möglichkeiten.

 

Mathematik Grundlagen - Kombinatorik 2

2. Beispiel: Es wird dreimal mit einem Würfel gewürfelt. Wie viele Reihenfolgen sind möglich?    6 6 6 = 216   (n = 6 ; K = 3)

 

Allgmein: Bei einer Menge von n Elemente gibt es bei k Ziehungen mit Zurücklegen

nk Möglichkeiten von Reihenfolgen. (Ohne Zurücklegen: Die Zahl, mit der bei jeder Ziehung multipliziertwerden muss, bleibt immer gleich.).

 

Schlussfolgerung: 1. Frage: Geht es um Reihenfolgen mit oder ohne Wiederholungen? (mit oder ohne Zurücklegen?) - Das Baumdiagramm zeigt die möglichen Ergebnisse für jeden Durchgang (für jede Ziehung).  -

Ohne Zurücklegen: Es gibt n! / (n - k)! Möglichkeiten.  -  0! = 1  -

Mit Zurücklegen: Es gibt nk Möglichkeiten. (n Elemente, k Ziehungen)

Um ein Baumdiagramm zu vereinfachen, können alle Zweige mit uninteressanten Ergebnissen zusammengefasst oder weggelassen werden.

 

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie sicher (oder unsicher) ein Ereignis eintritt, welches nur vom Zufall abhängt. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit P für ein Ereignis A. Sie liegt zwischen 0 und 1.

P(A) = 0      - Das Ereignis A tritt mit 100 %iger Sicherheit nicht ein.

P(A) = 1      - Das Ereignis A tritt mit 100 %iger Sicherheit ein.

 

P(A) = 0,5   - Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt , wird Gegenwahrscheinlichkeit P(Ā) genannt.   

P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5

 

Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine 6 zu würfeln ist 1/6, weil die 6 eine Zahl von 6 möglichen Zahlen ist. Also könnte man denken, es gilt die folgende Formel:

Mathematik Grundlagen - Wahrscheinlichkeit 1

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird aber zwischen "Ereignissen" und "Ergebnissen" unterschieden.

Beispiel: Wenn wir mit einem Würfel einmal würfeln und unser gewünschtes Ereignis ist "eine gerade Zahl" zu würfeln, dann würfeln wir z. B. eine 4 als Versuchsergebnis und erhalten dadurch unser gewünschtes Ereignis "eine gerade Zahl".

 

Das gewünschte Ereignis wird vor dem Versuch festgelegt: Beim Würfeln z. B. "Ich möchte eine 6 würfeln" oder "ich möchte eine gerade Zahl würfeln".

 

Ein Ergebnis hängt davon ab, um welchen Versuch es sich handelt (um das Würfeln mit einem Würfel, um das Ziehen einer Kugel aus einer Urne oder ...) und welche Eigenschaften der Elemente betrachtet werden sollen (z. B. Kugel könnten mehrere unterschiedliche Eigenschaften haben: es könnte verschiedenfarbige Kugeln geben, von denen einige groß und andere klein sind. In diesem Fall könnte man sich nur auf die Farbe, nur auf die Größe oder auf beides konzentrieren.

 

Entsprechend der Unterscheidung zwischen Ergebnis und Ereignis gibt es eine Ergebnismenge Ω (alle möglichen Versuchsergebnisse) und eine Ereignismenge E (alle gewünschten Versuchsergebnisse).

 

Beispiel Würfelbeispiel: Bei dem Wusch "eine 6 würfeln" wäre die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} und die gewünschte Ereignismenge E = {6}.

Beim Würfelversuch "eine gerade Zahl würfeln" wäre die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6 und die Ereignismenge E = {2; 4; 6}. Die Ereignismenge besteht aus den Ergebnissen, durch die das gewünschte Ereignis eintritt.

 

Bei der Wahl der Ergebnismenge muss beachtet werden, dass das Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge ist und dass eindeutig zu bestimmen ist, ob das gewünschte Ereignis eingetreten ist. Wäre bei einem Würfelversuch das Ereignis "ich möchte eine 6 würfeln" und würde bei der Ergebnismenge nur unterschieden zwischen Ω = {kleiner gleich 4; größer 4}, dann wäre es nicht möglich das Würfeln einer 6 von einer 5 zu unterscheiden (beide sind größer als 4).

 

Die Formel für das Berechnen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sieht also so aus:

Mathematik Grundlagen - Wahrscheinlichkeit 1-2

Diese Formel gilt nur für Laplace-Experimente. Wikipedia sagt:"Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Ergebnisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt ..." diese Formel (https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Formel, 02.04.23).

Bei einem "fairen" Würfel (einem Laplace-Würfel) hat jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden:

P(jede Zahl) = 1/Anzahl der möglichen Ergebnisse = 1/6.

Bei einem "gezinkten" Würfel ist das nicht so und einige Zahlen hätten unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. In diesem Fall würde die obige Formel falsche Wahrscheinlichkeiten brechnen.

 

Ich würde ein Laplace-Experiment so definieren: Das sind Experimente (Versuche), bei denen jedes Element der Ergebnismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, das Ergebnis zu sein. Warum?

 

In einer Urne befinden sich zwei weiße und eine rote Kugel, eine Kugel wird gezogen. Nach meiner Definition wäre das ein Laplace-Experiment. Die Ergebnismenge besteht aus 3 Elementen (Kugeln) und jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Wenn mein gewünschtes Ereignis das Ziehen einer weißen Kugel ist, gilt die Berechnung nach der Formel:

P(weiße Kugel) = 2/3

Es gibt aber die Meinung, das dies kein Laplace-Experiment ist, weil das Ergebnis "weiße Kugel" eine andere Wahrscheinlichkeit hat als "rote Kugel":

P(rote Kugel) = 1/3

Welche Definition die richtige ist, braucht hier nicht diskutiert werden. Entscheidend ist, dass die Formel auch in solchen Fällen das richtige Ergebnis liefert.

 

Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen

Ein Baumdiagramm visualisiert die möglichen Ergebnisse bei einem (mehrstufigen) Zufallsexperiment. Bei jeder Stufe zeigen die Verzweigungen, welche Ergebnisse möglich sind. Ein Zweig führt also zu einem möglichen Ergebnis (siehe das Bild unten). An jeden Zweig wird die Wahscheinlichkeit für diesen Zweig eingetragen. Alle Zweige vom Start bis zum Endergebnis zusammen heißen Pfad.

 

Für die Berechnungen der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen mit einem Baumdiagramm gelten 4 Regeln:

 

Pfadregel (Multiplikationsregel): Die Wahrscheinlichkeit für ein Endergebnis eines Pfades kann berechnet werden, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades miteinander multipliziert werden.

 

Summenregel: Die Summe aller Ergebniswahrscheinlichkeiten bei jeder Stufe eines Zufallsexperiments (bei jeder "Ziehung") und auch die Summe der finalen Ergebniswahrscheinlichkeiten ist 1.

 

Additionsregel: Die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse (aller Pfade), durch die ein gewünschtes Ergebnis eintritt, werden addiert, um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zu erhalten, welches durch diese Ergebnisse eintritt.

 

Gegenwahrscheinlichkeit: Die Gegenwahrscheinlichkeit eines Ergebnisses und eines Ereignisses lässt sich berechnen, in dem von 1 die Wahrscheinlichkeit des Ergebnises bzw. des Ereignisses abgezogen wird.

 

Grundlagen Mathematik - Wahrscheinlichkeitsrechnung 2

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten zeigt das Baumdiagramm, dass bei jeder Stufe die Anzahl der möglichen Ergebnisse zunimmt. Deshalb nimmt bei jeder Stufe die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A entsprechend der Formel unten ab (weil der Nenner größer wird):

Grundlagen Mathematik - Wahrscheinlichkeitsberechnung 4

In dem obigen Baumdiagramm sieht man die 25 möglichen Ergebnisse nicht, weil es sich um ein zusammengefasstes Diagramm handelt. Die richtige Laplace-Darstellung würde so aussehen (man könnte zwischen den beiden grünen und roten Kugeln unterscheiden): Die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden ist für jede Kugel 1/25.

Grundlagen Mathematik - Wahrscheinlichkeit 5

Mehrstufige Zufallsexperimente können auch aus verschiedenartigen Experimenten zusammengesetzt sein: zuerst das Ziehen aus einer Urne, dann das Werfen einer Münze.

 

Grundlagen Mathematik - Wahrscheinlichkeitsrechnung 3

Beim Ziehen ohne Zurücklegen muss man berücksichtigen, dass sich die Anzahl der Elemente bei jeder Ziehung (jeder Stufe) um 1 veringert.

 

Beispiel: Berechne mit dem obigen Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "mindestens eine rote Kugel und Zahl".

Dieses Ergebnis tritt ein durch die Ergebnissmenge {brz; grz; rbz; rgz; rrz}.

P (mindestens eine rote Kugel und Zahl) = P(brz) + P(grz) + P(rbz) + P(rgz) + P(rrz) = 1/20 + 1/10 + 1/20 + 1/10 + 1/20 = 7/20

 

Das Gegenereignis wäre "keine rote Kugel oder keine Zahl":

P(keine rote Kugel oder keine Zahl) = P(bgk) + P(bgz) + P(brk) + P(gbk) + P(gbz) + P(ggk) + P(ggz) + P(grk) + P(rbk) + P(rgk) + P(rrk) = 1/20 + 1/20 + 1/20 + 1/20 + 1/20 + 1/20 + 1/20 + 1/10 + 1/20 + 1/10 + 1/20 = 13/20 =   ̶  7/20

 

Die mathematischen (logischen) "und" und "oder" verknüpfen Aussagen. Bei einer und-Verknüpfung (AB) müssen alle Aussagen wahr sein, damit die Verknüpfung wahr ist. Bei einer oder-Verknüpfung (AB) muss mindestens eine Aussage wahr sein (d. h. auch beide können wahr sein), damit die Verknüpfung wahr ist. Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es ja um Ergebnismengen, durch die ein Ereignis eintritt. Hier bedeutet ein "und" (AB), dass ein Ereignis nur durch Ergebnisse eintritt, die gleichzeitig in beiden Ergebnismengen vorhanden sind. Ein "oder" (AB) bedeutet, dass ein Ereignis eintritt durch ein Ergebnisse, dass in einer der beiden oder auch in beiden Ergebnismengen vorhanden sind.

 

Achtung: Bei der oder-Verknüpfung dürfen die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse nur dann einfach addiert werden, wenn sie keine gemeinsamen Ergebnisse haben, durch die sie eintreten. Beispiel: Mit einem Würfel wird einmal gewürfelt.

Wie große ist die Wahrscheinlichkeit, dass A \rightarrow das "Ergebnis größer als 2" oder B \rightarrow "gerade" ist? A tritt ein durch die Ergebnisse {3; 4; 5; 6}, die Wahrscheinlichkeit ist P(A) = 4/6. B tritt ein durch die Ergebnisse {2; 4; 6} , die Wahrscheinlichkeit ist P(B) = 1/2. Würde man jetzt diese beiden Wahrscheinlichkeiten einfach addieren, dann wäre die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse {4; 6} doppelt berücksichtigt. Das sieht man in diesem Beispiel auch daran, dass die Wahrscheinlichkeit dann größer als 1 wäre (4/6 + 1/2 = 7/6). Bei einer oder-Verknüpfung muss deshalb die Wahrscheinlichkeit für gemeinsame Ergebnisse (hier P(4;6) = 1/3) einmal abgezogen werden:

P (Ergebnis größer als 2 oder Ergebnis gerade) = 4/6 + 3/6 2/6 = 5/6

 

 

Schlussfolgerung: Bei einem Laplace-Experiment (alle möglichen Ergebnisse haben die gleich Wahrscheinlichkeit) tritt ein Ereignis ein, wenn es zu einem Ergebnis kommt, dass in der Ereignismenge E enthalten ist.

Vierfeldertafel

 

Fortsetzung folgt ...