Was ist Mathematik?

Kernaussage: Der folgende Text ist eine vereinfachte Darstellung der Mathematik. Er versucht die grundlegenden Fragen verständlich zu beantworten. Mathematische Details werden woanders genauer erklärt.

 

Was ist Definition der Mathematik?

"Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht." (https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik, 04.08.21)

 

Die Definition eines Begriffes benennt die Klasse, zu der der Begriff gehört und die wesentlichen Merkmale, die diesen Begriff von den anderen Begriffen der Klasse unterscheidet (siehe "Wörter definieren" auf Learn-Study-Work). Eine Definition muss nützlich sein. Wenn es Ausnahmen gibt, dann bedeutet dies, dass sie in einigen Fällen nicht richtig ist. Das stört nicht, wenn die Defintion in Vergleich mit anderen Definitionen, die mit dem größten Nutzen ist. (Eine Definition, die nur wenige verstehen, ist nicht nützlich.)

 

"Nur die fittesten Theorien überleben. Obwohl man von einer Theorie nie mit Recht sagen kann, dass sie wahr ist, kann man hoffentlich sagen, dass sie die beste verfügbare Theorie ist …" (Chalmers, A. F. (1999). What Is This Thing Called Science? Open University Press, S. 60)

 

Die Mathematik gehört also zur Klasse der Wissenschaften. Was unterscheidet sie von den anderen Wissenschaften?

 

"Ja, was ist Mathematik eigentlich? ... Wenn Sie die Gelegenheit haben, fragen Sie doch ein paar Mathematiker und Mathematikerinnen ... Sie werden ganz verschiedene Antworten bekommen. Beispielsweise "Mathematik beschäftigt sich mit formalen Strukturen und quantitativen, d.h. durch Zahlen ausdrückbaren Beziehungen" oder "Mathematik ist die Kunst, mit Hilfe exakten logischen Schließens aus bekannten Gegebenheiten neue, bislang unbekannte Wahrheiten zu entdecken"." (www.mathe-online.at/mathint/uema/i.html, 04.08.21)

 

Die entscheidenden Aussagen sind: "Mathematik beschäftigt sich mit quantitativen Beziehungen" und "Mathematik ist die Kunst bislang unbekannte Wahrheiten zu entdecken".

 

Ist die Logik der Mathematik selbstgeschaffen oder spiegelt sie nur die Logik der Natur wieder? Phytagoras hat den Satz a2 + b2 = c2 nicht selbst erschaffen, er hat er ihn nur entdeckt (tatsächlich wurde der Satz schon vor Phytagoras entdeckt). Der Satz galt schon bevor ihn jemand entdeckt hat.

 

"Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man Axiome, die daraus hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes." (https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik, 07.08.21)

 

Es gibt zwei verschiedene Sichtweisen zu einer Definition von Mathematik:

 

1. Die Mathematiker haben die Regeln der Mathematik selbst erschaffen. Es ist nicht notwendig zu definieren, was Mathematik ist.

 

"In jedem Fall ist es so, dass sich Mathematik auf ideale Gedankenkonstruktionen bezieht. ... Während der letzten zwei Jahrtausende hat sich die Mathematik zu einer eigenständigen Wissenschaft entwickelt, die in zahlreiche Spezialgebiete aufgefächert ist. ... Von diesem Standpunkt aus betrachtet ist Mathematik eine kulturelle Errungenschaft, die nicht durch ein einfaches Statement umfassend charakterisiert werden kann." (www.mathe-online.at/mathint/uema/i.html , 07.08.21)

 

2. Wissenschaft ist neues, reproduzierbares und nützliches Wissen (siehe auf Learn-Study-Work "Was ist Wissenschaft?"). In unserem Universum gelten bestimmte Regeln. Die Menschen wollen diese Regeln verstehen und für sich nutzen. Die Theorien der Mathematik erklären die Regeln, die für die quantitativen Beziehungen in unserem Universum gelten. Um diese Regeln möglichst gut zu verstehen, reicht es nicht die Deails zu kennen, sondern wir müssen auch die grundlegenden Fragen beantworten und benötigen eine Definition der Mathematik.

 

"Man kann sich die gesamte Mathematik als ein Gedankengebäude vorstellen, das aus Aussagen besteht, die aus gewissen Grundaussagen (den Axiomen) durch logische Schlussfolgerungen abgeleitet werden. Dieser Vorgang heißt beweisen. Gilt eine Aussage A als bewiesen, und kann man eine weitere Aussage B logisch aus A ableiten, so gilt auch B als bewiesen. Mit diesem Prinzip steht und fällt die Mathematik, daran lässt sich nicht rütteln." (Schichl, H., Steinbauer, R. (2018) Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer Spectrum, S. 18)

 

Die Mathematik ist ein Gedankengebäude aus Aussagen, aber Aussagen wozu? Die anderen Wissenschaften machen auch Aussagen. Deshalb definiere ich:

 

Definition: Das Wort "Mathematik" hat zwei Bedeutungen: Zum einen ist die Mathematik eine Wissenschaft, die Aussagen macht zu den quantitativen Beziehungen zwischen verschiedenen Elementen. Zum anderen ist die Mathematik ein Fachgebiet, bei dem es um quantitative Beziehungen geht.

 

Wissenschaft ist neues, reproduzierbares und nützliches Wissen. Deshalb sagen die Mathematikerinnen zu recht, dass das einfache Rechnen keine Wissenschaft ist, weil es nach allgemein bekannten Rechenregeln geschieht. Das Rechnen, so wie es in der Schule gelehrt wird, ist nicht neu und gehört zum Allgemeinwissen. Trotzdem sprechen wir von der Schulmathematik. Deshalb ist die Mathematik nicht nur eine Wissenschaft, sondern auch ein Fachgebiet.

 

Beispiele:

Die Aussage: "In diesem Lager gibt es Reissäcke." ist eine qualitative Aussage und keine Mathematik. Zu einer mathematischen Aussage wird sie erst, wenn eine quantitative Angabe gemacht wird: "In dem Lager gibt es mindestens einen Reissack."

Wenn ich einen Kreis zeichne, dann ist das keine Mathematik. Dies ist es erst, wenn es um die Größe des Kreises geht.

 

In den allermeisten Fällen geht es in der Mathematik um quantitative Aussagen. Es mag Bereiche der Mathematik geben, die sich mit rein qualitative Aussagen beschäftigen. Für diese Fälle gilt "Ausnahmen bestätigen die Definition".

 

Immer wenn es in den anderen Wissenschaften um quantitative Beziehungen geht, benötigen diese die Mathematik. So ist zum Beispiel die Formel: "Die Gewichtskraft FG ist das Produkt aus der Masse m und der Erdbeschleunigung g" sowohl eine physikalische, als auch eine mathematische Formel.

Was ist Mathematik? Die Mathematik macht Aussagen zu den quantitativen Beziehungen zwischen verschiedenen Elementen - www.learn-study-work.org

In Antworten auf die Frage "Was ist Mathematik?" wird betont, dass die Logik in der Mathematik eine wichtige Rolle spielt: Mathematik beschäftigt sich mit Zahlen, Figuren und Logik (siehe www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima12/was_ist_mathematik.pdf). Logische Schlüsse betreffen aber nicht nur quantitative Aussagen. Wenn die Logik zur Mathematik gehört, würde dies meiner obigen Definition widersprechen. Meiner Meinung nach ist die Logik ein eigenständiges Fachgebiet, weil sie, wie die Mathematik, von alle anderen Wissenschaften genutzt wird.

 

Die drei Seiten der Mathematik: Rechnen, Beweisen und Anwenden

Beim Erklären von mathematischen Zusammenhänge sollte immer auch der Nutzen für die Menschen erklärt werden, weil sich die Zusammenhänge dann besser vertehen und erinnern lassen. Bei neuen wissenschaftlichen Erkenntnissen zeigt sich der Nutzen manchmal erst später:

 

"Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend formalisiert sind. ... Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der Astronomie, der Geodäsie, der Physik und der Ökonomie aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. ... Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben." (https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik, 07.08.21)

 

Wissenschaft soll nicht nur neu und nützlich, sie soll auch reproduzierbar sein. In der Mathematik wird eine Aussage erst dann als richtig akzeptiert, wenn für sie ein nachvollziehbarer Beweis gefunden wurde.

 

"Wohl kann man Anfänge des Zählens in den Funden der älteren Steinzeit erkennen. Erste schriftliche, also mit Worten ausgedrückte Hinweise auf Arithmetik, Geometrie und Astronomie finden wir allerdings erst bei den Hochkulturen Ägyptens und und Mesopotamiens und den frühen griechischen Kulturen. ... Eine Mathematik in der Form, wie wir sie uns heute vorstellen, also mit Axiomen, Theoremen und Beweisen unter der Ägide der Logik, ist nach unserem Wissensstand allerdings erst in den Hochkulturen der Griechen entstanden ..." (Gronau, D. (2009) Vorlesungen zur frühen Geschichte der Mathematik. Institut für Mathematik der Karl-Franzens-Universität Graz, https://imsc.uni-graz.at/gronau/Gm.pdf, 08.08.21, S. 5)

 

Die Beamten in Ägypten mussten viele verschiedene Berechnungen durchführen, wie z. B. die Löhne und den Getreidebedarf der Arbeiter oder den Bedarf an Baumaterialien. Um die Steuern festzulegen, musste das Land vermessen werden.

 

"Die Geometrie der Ägypter ist ebenso wie die Arithmetik (also die Lehre von den Zahlen) noch keine Wissenschaft im heutigen Sinne, sondern eine Art angewandtes Rechnen. Es geht in erster Linie darum, Flächen und Rauminhalte zu berechnen.

Die babylonische [mesopotamische] Mathematik ist in ihrem Wesen her “algebraisch” ... Von einer strengen Beweisführung, wie sie dann von den Griechen eingeführt wurde, kann jedoch noch keine Rede sein." (https://imsc.uni-graz.at/gronau/Gm.pdf, 08.08.21, S. 10,16)

 

Die Anfänge der Mathematik lagen also im Zählen, Rechnen und in der Geometrie (der Lehre über die Figuren in der Ebene, wie z.B. Dreieck oder Rechteck, und die Körpern im Raum, wie z.B. Kugel oder Würfel.) Neben der Geometrie gehören die Arithmetik und die Algebra zu den vielen Teilgebieten der Mathematik.

 

Die Arithmetik ist das Rechnen (z. B. in den Grundrechenarten +, -, ·, ÷) mit natürlichen Zahlen N (wie 1,2,3,..), ganzen Zahlen Z (wie 0, 1, -1, 2, -2, ...) und rationalen Zahlen Q (Brüche mit ganzzahligen Zählern und mit von Null verschiedenen Nennern).

 

Die elementare Algebra "... umfasst das Rechnen und Operieren mit Unbekannten in Gleichungen und im Zusammenhang mit Funktionen. ... Ziel des Algebraunterrichts ist es einen Sachverhalt allgemein darzustellen und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Hierzu werden Variable eingeführt und Rechenoperationen auf Variable angewandt. Die Variablen stellen ein Mittel der Verallgemeinerung dar und sind damit das grundlegende Konzept der Algebra." (Schiffer, K. (2019) Probleme beim Übergang von Arithmetik zu Algebra. Springer Verlag, Berlin, S. 1)

 

Die Mathematik hat drei Seiten: das Rechnen, das Beweisen und das Anwenden.

 

"Die ägyptische wie die babylonische Mathematik haben ... eine gewisse Ähnlichkeit mit der Art und Weise, mit der wir bis heute Mathematik in der Primar- und Unterstufe unterrichten: Statt mathematischer Sätze und allgemeiner Formeln steht auch dort das mustergültige Beispiel und das daran orientierte Einüben von mathematischen Techniken (Prozeduren) im Mittelpunkt des Lernens. Es gibt sogar noch eine weitere Entsprechung: Die Probe als Mittel der Prüfung des gefundenen Resultats." (www.antike-griechische.de/Pythagoras.pdf , 08.08.21, S. 6)

 

"Beweisen ist eine spezielle Aktivität, sie sollte speziell thematisiert werden. Sie ist intellektuell anstrengend, daher wird einen Beweis nur schätzen, wer das Positive daran erlebt hat. Schon Pólya (1966, Band 2, S. 195) schrieb:
’In erster Linie muss der Anfänger davon überzeugt werden, dass sich das Lernen von Beweisen lohnt, dass sie einen Zweck haben, dass sie interessant sind.‘ Pólya dachte an Schülerinnen und Schüler. In der Schule werden heute Beweise noch weniger thematisiert als damals. Daher sind die ’Anfänger‘ heute die Studienanfänger." (https://uol.de/f/5/inst/mathe/personen/daniel.grieser/Forschung/Einige_Papers/GriMPBELS.pdf, S. 3)

 

Beispiel für einen Beweis:

Frage (Problem): Ist die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 3 teilbar?

Antwort und Beweis: Ja, denn n + (n + 1) + (n + 2) = 3n +3 = 3(n + 1) und 3(n + 1) ist für alle natürlichen Zahlen n durch 3 teilbar.

 

"Die Angewandte Mathematik beschäftigt sich sowohl mit der Entwicklung neuer Methoden zur Lösung von Problemen aus anderen Gebieten ... , als auch der Anwendung bereits bekannter mathematischer Methoden auf wohlbekannte Probleme" (https://de.wikipedia.org/wiki/Angewandte_Mathematik, 16.10.21)

 

"Durch die Digitalisierung von Arbeits- und Produktionsprozessen, ist die Mathematik in weiten Teilen der Industrie und Wirtschaft zu einer Schlüsseltechnologie geworden. Die Computerisierung hat bereits in den vergangenen Jahrzehnten zu neuen beruflichen Möglichkeiten ... geführt: komplexe mathematische Modelle und Methoden kommen beispielsweise in der Steuerung von Produktionsanlagen, bei der Optimierung von Materialeigenschaften oder bei der Simulation chemischer Prozesse in der Verfahrenstechnik zum Einsatz." (www.hs-rm.de/de/fachbereiche/ingenieurwissenschaften/studiengaenge/angewandte-mathematik-bsc, 16.10.21)

 

Diese beiden Videos zeigt die drei Seiten der Mathematik: www.youtube.com/watch?v=mxVDSdqJIZg

www.youtube.com/watch?v=1zudtkaEkHw, 16.10.21