Mathe Grundlagen ohne Taschenrechner - Realschulabschluss (mittlere Reife, 10. Klasse)

Kernaussage: Kompakte Zusammenfassung - selbsterklärend. Wer alles versteht, ist gut vorbereitet für einen Test ohne Taschenrechner (wenn noch einige Übungsaufgaben gerechnet werden). Wer etwas nicht versteht, muss die genaue Erklärung woanders nachschauen.

Klammern werden in der Mathematik zu verschiedenen Zwecken eingesetzt. Hier zeigen sie, welches Vorzeichen zu einer Zahl gehört und welche Operation zuerst ausgeführt werden soll:

Bei 6 - (2 + 3) soll zuerst 2 + 3 = 5 gerechnet werden und dann 6 - 5 = 1 .

Steht von einer Klammer ein Minuszeichen, muss man die Vorzeichen in der Klammer umkehren, wenn diese wegfallen soll: 6 - (2 + 3) = 6 - 2 - 3 = 1 .

Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, werden die Vorzeichen nicht umgekehrt:

6 + (2 + 3) = 6 + 2 + 3 = 11 .

Beim Kopfrechnen ist es einfacher Zahlen zu zerlegen:

Auch bei der Multiplikation ist es einfacher Zahlen zu zerlegen, wenn man im Kopf rechnen soll:

Rechnen mit Dezimalzahlen:

Brüche können nur addiert oder sustrahiert werden, wenn sie den gleichen Nenner haben. Deshalb müssen Brüche erweitert werden, was bedeutet, dass Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden. Das ist erlaubt, weil a/a = 1 und eine Multiplikation mit 1 verändert nicht den Wert des Bruches.

Den Wert (mit Einheit), der umgerechnet werden soll, multipliziert man mit einem Faktor, der die gesuchte Einheit im Zähler und die zu verändernde Einheit im Nenner enthält und den Wert 1 hat. Dann kürzt sich die zu verändernde Einheit raus. Eine Multiplikation mit 1 ist erlaubt, weil sie den Ausgangswert nicht verändert.

Ich muss also immer wissen, wie die Grundeinheiten umgerechnet werden. Da sollte man im Kopf haben:

• milli - 1/1000
• centi - 1/100
• dezi - 1/10
• kilo - 1000

Gewicht: 1000 mg = 1 g, 1000 g = 1 kg, 1000 kg = 1 Tonne

Länge: 10 mm = 1 cm, 10 cm = 1 dm, 100 cm = 1 m, 1000 m = 1 km

Fläche:  Eine Fläche berechnet sich aus Länge x Länge.

10 mm x 10 mm = 100 mm² = 1 cm², 100 cm² = 1 dm²,

100 cm x 100 cm = 10000 cm² = 1 m², 1000 m x 1000 m = 1000000 m² = 1 km²

Volumen: Ein Volumen berechnet sich aus Länge x Länge x Länge.

10 mm x 10 mm x 10 mm = 1000 mm³ = 1 cm³,

10 cm x 10 cm x 10 cm = 1000 cm³ = 1 dm³,

100 cm x 100 cm x 100 cm = 1 m³, 

1000 m x 1000 m x 1000 m = 1 km³

1 cm³ = 1 ml, 1000 ml = 1 Liter, 1000 Liter = 1 m³,

eine Packung Milch hat ungefähr:

10 cm x 10 cm x 10 cm = 1000 cm³ = 1000 ml = 1 dm³ = 1 Liter

Zeit: 60 s = 1 min, 60 min = 1 h (hour), 24 h = 1 d (day), 365 d = 1 a (year)

Bei der Prozentrechnung gibt es 5 Werte, nach denen gefragt werden kann:

Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz 1, Prozentsatz 2 und nach dem Differenzwert zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert. Wenn zwei Werte bekannt sind, können die anderen Werte berechnet werden.

75 % bedeutet 75 ⋅ 1/100 = 0,75 . Die 0,75 werden Prozentsatz % genannt. Zu unterscheiden davon ist der Prozentsatz p = 75. Dieses p wird in den Formeln der Prozentrechnung verwendet.

Beispiel: In einer Klasse sind 24 Schüler, von denen 75 % Rechtshänder sind. Der Anteil der Linkshänder beträgt 25 %, was 24 -18 = 6 Schülern entspricht.

Wie groß ist der Preisnachlass? Eine Sache kostet 500 Euro. Der Preis wird um 25 % reduziert. Der neue Preis ist 325 Euro. Er ist um 125 Euro reduziert worden.

Im Kopf gerechnet: 500 x 0,75 = 1/2 x 1000 x 0,75 = 1/2 x 750 = 375 (Wenn ich mit 1000 rechne, dann mus ich das Ergebnis halbieren.),  500 - 375 = 125

Wie groß ist die Mehrwertsteuer? Eine Sache kostet netto 500 Euro. Der Preis mit Mehrwertsteuer soll berechnet werden.

Im Kopf gerechnet:  500 ⋅ 1,19 = ½ ⋅ 1000 ⋅ 1,19  =  ½ ⋅ 1190  =  595 ,

500 ⋅ 0,19 = 500 ⋅ (2 ⋅ 0,1  -  0,01) = 500 ⋅ 2 ⋅ 0,1  -  500 ⋅ 0,01  =  2 ⋅ 50  -  5  =  100  - 5  =  95

(10 % von 500 sind 50, dann sind 2 ⋅ 10 % = 20 % = 100, um auf 19% zu kommen muss ich noch 1 % (= 5) abziehen).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (s. u.) für ein Ergebnis, das nur vom Zufall abhängt? Um diese Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss man zuerst wissen, wie viele verscheiden Ergebnisse möglich sind.

Wenn es daum geht wie viele verschiedene Reihenhenfolgen es für die Anordnung von Objekten geht, dann ist diese Frage ein Teilgebiet der Kombinatorik. Für die Art der Reihenfolge gibt es zwei Möglichkeiten:

Reihenfolgen ohne Wiederholungen (ohne Zurücklegen)

1. Beispiel: Aus einer Urne mit 3 verschiedenen Kugel werden ohne Zurücklegen nacheinander 3 Kugeln herausgenommen (wie beim Lotto mit 6 Kugeln). Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?

Für das erste Herausnehmen (Ziehung) gibt es 3 Möglichkeiten. Danach sind nur noch 2 Kugeln in der Urne übrig. Für die zweite Ziehung gibt es also nur noch 2 Möglichkeiten. Für die dritte Ziehung gibt es nur noch 1 Möglichkeit, weil sich jetzt nur noch eine Kugel in der Urne befindet.

Insgesamt gibt es 3 ⋅  2  ⋅  1  =  6 Möglichkeiten:

Das Bild zeigt, dass schon bei der 2. Ziehung 6 verschiedene Reihenfolgen möglich sind. Das erklärt sich dadurch, dass es bei der 3. Ziehung nur noch 1 Kugel in der Urne gibt und man hat keine Wahlmöglichkeit mehr hat.

2. Beispiel: 5 Personen stellen sich hintereinander auf (5 Personen und 5 "Ziehungen", n = 5 und k = 5).

Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?    5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Allgemein: Eine Menge von n Elementen hat  1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅  n  =  n!  Möglichkeiten von Reihenfolgen, wenn alle Elemente "gezogen" werden (n - k = 0).

Reihenfolgen mit Wiederholungen (mit Zurücklegen)

1. Beispiel: Aus einer Urne mit 3 verschiedenen Kugel wird 2 Mal mit Zurücklegen eine Kugel herausgenommen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?

Für das erste Herausnehmen (Ziehung) gibt es 3 Möglichkeiten und für die zweite Ziehung auch 3 Möglichkeiten, weil die gezogene Kugel der ersten Ziehung zurückgelegt wurde.

Insgesamt gibt es 3 ⋅ 3 = 9 Möglichkeiten.

2. Beispiel: Es wird dreimal mit einem Würfel gewürfelt. Wie viele Reihenfolgen sind möglich?    3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81

Allgmein: Bei einer Menge von n Elemente gibt es bei k Ziehungen mit Zurücklegen n^k  Möglichkeiten von Reihenfolgen.

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie sicher (oder unsicher) ein Ereignis eintritt, welches nur vom Zufall abhängt. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit P für ein Ereignis A. Sie liegt zwischen 0 und 1.

P(A) = 0   - Das Ereignis A tritt mit 100 %iger Sicherheit nicht ein.

P(A) = 1   - Das Ereignis A tritt mit 100 %iger Sicherheit ein.

Fortsetzung folgt ...