Stochastik

Kernaussage:

Stochastik ist die "Kunst des Vermutens". Wenn es eine klare Regel gibt, lässt sich ein Ereignis (und seine Eigenschaften) vorhersagen/berechnen. Gibt eine solche Regel nicht, dann spielt der Zufall eine Rolle und das Eintreten des Ereignisses lässt sich nur vermuten. Mit der Stochastik lässt sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses berechnen. Zur Stochastik gehören also die Wahrscheinlichkeitstheorie, aber auch die mathematische Statistik sowie andere Teilgebiete.

Die Stochastik untersucht Zufallsexperimente, um festzustellen, wie die Wahrscheinlichkeit für ein gewünschtes Versuchsereignis berechnet werden kann.

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie sicher (oder unsicher) ein Ereignis eintritt, welches vom Zufall abhängt. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit P für ein Ereignis A. Sie liegt zwischen 0 und 1.

P(A) = 0      - Das Ereignis A tritt mit 100 %iger Sicherheit nicht ein.

P(A) = 1      - Das Ereignis A tritt mit 100 %iger Sicherheit ein.

P(A) = 0,5   - Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A nicht eintritt, wird Gegenwahrscheinlichkeit P(Ā) genannt:   P(Ā) = 1 - P(A)

Beispiel: Ist P(A) = 0,6 , dann ist die Gegenwahrscheinlichkeit P(Ā)= 1 - 0,6 = 0,4 .

Jedes Zufallsexperiment besitzt eine Menge möglicher Versuchsausgänge (ein Versuchausgang wird auch als Versuchsergebnis oder Elementarereignis bezeichnet). Die Menge aller Versuchsergebnisse wird Ergebnismenge (oder Ergebnisraum) Ω genannt.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird zwischen "Ergebnissen" und "Ereignissen" unterschieden. Was ein Ereignis ist, wird vor dem Zufallsexperiment festgelegt (es kann sich dabei um ein gewünschtes Ereignis handeln). So können wir z. B. beim Würfeln festlegen "Ich möchte eine 6 würfeln" oder "ich möchte eine gerade Zahl würfeln":

Bei dem Wunsch "eine 6 würfeln" wäre die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} und die festgelegte Ereignismenge E = {6}.

Beim Würfelversuch "eine gerade Zahl würfeln" wäre die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  und die Ereignismenge E = {2; 4; 6}.

Was ein Ergebnis ist, hängt davon ab, um welchen Versuch es sich handelt (um das Würfeln, um das Ziehen einer Kugel aus einer Urne oder ...) und welche Eigenschaften der Elemente betrachtet werden sollen (z. B. können Kugeln mehrere unterschiedliche Eigenschaften haben: es kann verschiedenfarbige Kugeln geben, von denen einige groß und andere klein sind).

Die Unterscheidung zwischen Versuchsereignis und Versuchsergebnis ist sinnvoll, weil ein festgelegtes Versuchsereignis aus mehreren Versuchsergebnissen bestehen kann: Wenn wir mit einem Würfel einmal würfeln und unser festgelegtes Ereignis ist "eine gerade Zahl" zu würfeln, dann tritt unser Ereignis durch die Versuchsergebnisse 2, 4 und 6 ein. Die Ereignismenge E besteht also aus den Ergebnissen, durch die das festgelegte Ereignis eintritt.

Bei der Wahl der Ergebnismenge muss beachtet werden, dass das Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge ist und dass eindeutig zu bestimmen ist, ob das gewünschte Ereignis eingetreten ist. Wäre bei einem Würfelversuch das Ereignis "ich möchte eine 6 würfeln" und würde bei der Ergebnismenge nur unterschieden zwischen Ω = {kleiner gleich 4; größer 4}, dann wäre es nicht möglich das Würfeln einer 6 von einer 5 zu unterscheiden (beide sind größer als 4).

Die Formel für das Berechnen der Wahrscheinlichkeit P eines gewünschtes Ereignisses A sieht bei einem Laplace-Experiment so aus:

Diese Formel gilt nur für Laplace-Experimente. Bei einem Laplace-Experiment hat jedes Element der Ergebnismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis zu sein (jeder Versuchsausgang ist gleich wahrscheinlich). Wikipedia sagt das so: Die obige Formel gilt, wenn ein Zufallsexperiment nur endlich viele Ergebnisse hat und diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (siehe (https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Formel, 02.04.23).

Vereinfachter Merksatz für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment: Die Wahrscheinlichkeit eines festgelegten Ereignisses = Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle (siehe www.mathe-online.at/mathint/wstat1/i.html#1, bei (4)). .

Bei Experimenten, die keine Laplace-Experimente sind, muss kann man durch möglichst häufiges Durchführen dieses Experimentes eine Wahrscheinlichkeit schätzen. Dafür wird die relative Häufigkeit (s. u.) benutzt. Das "Gesetz der großen Zahlen" sagt, dass bei der Ausführung von sehr vielen Experimenten, die relativen Häufigkeiten der Ereignisse den tatsächlichen Häufigkeiten immer näher kommen.

Dies entspreicht der Definition von Wahrscheilichkeit: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die relative Häufigkeit seines Entretens für eine gegen unendlich strebende Anzahl n von Durchführungen des betreffenden Zufallexperiments (siehe www.mathe-online.at/mathint/wstat1/i.html#1, bei (3)).

Beispiel: Wenn wir 1000-mal eine Münze werfen, dann werden die relativen Häufigkeiten von Kopf und Zahl ziemlich nah bei 0,5 liegen.

In unserem täglichen Leben ist es von Vorteil, wenn wir bei einer Entscheidung zwischen mehreren Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit abschätzen können, mit der jede Möglichkeiten für uns zum Erfolg führt. Drei Fälle sind denkbar:

1. Es kann eine klare Regel geben, mit der wir entscheiden können, welche Möglichkeit zum Erfolg führt.
2. Der Erfolg hängt allein vom Zufall ab, wobei das oben gesagte gilt.
3. Der Erfolg einer Möglichkeit kann aus Erfahrungswerten abgeschätzt werden, hängt aber auch vom Zufall ab, der nur schwer abgeschätzt werden kann.

Ein Beispiel für den 3. Fall: Ich möchte mit dem Zug von A nach B fahren und muss dazu in C umsteigen. Der Zug von A nach C ist der Erfahrung nach zu 90 % pünktlich, so dass ich mit dieser Wahrscheinlichkeit den Anschlusszug von C nach B erreichen werde. Wenn es sich aber um den letzten Zug des Tages handelt, dann muss ich in C übernachten, wenn ich den Zug von C nach B verpasse. Dieses Risiko möchte ich nicht eingehen.