Was sind mathematische Funktionen und was muss man über sie wissen?

Kernaussage:

 

Was ist eine Funktion?

Definition: Eine Funktion f(x) ist dann gegeben, wenn jedem Element x einer Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zugeordnet ist.

 

Alle Elemente unseres Universum stehen in Beziehung zu anderen Elementen. Es gibt kein Element, dass vollkommen isoliert existiert. Für viele Beziehungen sind mathematische Formeln bekannt, mit denen Werte berechnet werden können, die die Beziehung quantitativ beschreiben. Aber es gibt auch viele Beziehungen zwischen Elemente für die keine Formel bekannt ist oder für die eine Formel zu kompliziert wäre. So kann z. B. die Wettervorhersage, die Außentemperatur nur grob für wenige Tage berechnen.

 

"Immer dann, wenn der Wert einer Größe von dem Wert einer anderen Größe abhängt, liegt eine Funktion vor. Da die Natur voll von solchen Anhängigkeiten ist, kann eine unermesslich große Anzahl von Vorgängen und Zusammenhängen in der mathematischen Sprache der Funktionen beschrieben, modelliert und verstanden werden ... Betrachten Sie etwa ein Thermometer, dass an irgedeinem Ort hängt. ... Zu jedem gegebenen Zeitpunkt t ... wird eine bestimmte Temperatur T ... angezeigt. ... Jedem Zeitpunkt t ist eine Temperatur T zugeordnet. ... Ob sich die Temperatur aufgrund einer Theorie berechnen lässt oder ob sie abgelesen werden muss, ist dabei unerheblich - in jedem Fall handelt es sich um eine Funktion." (www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html, 14.08.21)

 

Bei einer Beziehung zwischen einem Zeitpunkt und der Temperatur fragt man sich also: "Wenn sich der Zeitpunkt verändert (wenn er variiert wird), wie ändert sich dann die Temperatur?" Weil sich beide ändern, werden Zeitpunkt und Temperatur als Variablen bezeichnet. Die Tempeartur ist die abhängige Variable und der Zeitpunkt die unabhängige Variable (die Temperatur hängt vom Zeitpunkt ab).

 

Schon die frühen Mathematiker wussten, dass bei einem rechtwinkligen Dreick zwischen den Seiten eine Beziehung besteht und sie kannte die Formel, mit der man diese Abhängigkeit quantitativ berechnen kann: a2 + b2 = c2

 

Nun kann man sich fragen, wie verhält sich die Seite c, wenn die Seite b einen festen Wert hat und die Seite a verändert wird. Die Formel wird nach c aufgelöst:

Man sagt: Die untere Gleichung ist die Funktionsgleichung, mit der man zu jedem Wert von a einen Funktionswert c = f(a) berechnen kann. Jedem Wert von a wird so ein Wert c zugeordnet. Die Zuordnung geschieht, indem ein bestimmter Wert a in die Gleichung einsetzt und dann der zugeordnete Wert c ausgerechnet wird.

Nun musst noch festgelegt werden, welche Werte a einnehmen darf. Diese Werte werden Definitionsmenge genannt (z. B. gehört für die Funktion  f(x) = 1/x der Wert 0 nicht zur Definitionmenge). Die zugeordneten Werte c werden Wertemenge genannt.

  

Eine Funktion kann als Wertetabelle dargestellt werden, die zeigt welche beiden Werte zueinander gehören. Wenn die Wertetabelle zu groß wird, ist es sinnvol die Funktion zu visualisiern, indem man ihren Graphen (ihre zeichnerische Darstellung) in ein Koordinatensystem einträgt. Der Funktionsgraph ist die Menge aller Elementepaare (xy), für die gilt y = f(x).