Was sind mathematische Funktionen und was muss man über sie wissen?

Alle Elemente unseres Universum stehen in Beziehung zu anderen Elementen. Es gibt kein Element, dass vollkommen isoliert existiert. Für viele Beziehungen sind mathematische Formeln bekannt, mit denen Werte berechnet werden können, die die Beziehung quantitativ beschreiben. Für einige Beziehungen zwischen den Elementen existieren nur sehr komplizierte Formeln. So kann z. B. die Außentemperatur (für die Wettervorhersage) nur grob für wenige Tage berechnet werden. Aber es gibt auch viele Beziehungen für die es überhaupt keine Formel gibt.

 

"Immer dann, wenn der Wert einer Größe von dem Wert einer anderen Größe abhängt, liegt eine Funktion vor. Da die Natur voll von solchen Anhängigkeiten ist, kann eine unermesslich große Anzahl von Vorgängen und Zusammenhängen in der mathematischen Sprache der Funktionen beschrieben, modelliert und verstanden werden ... Betrachten Sie etwa ein Thermometer, dass an irgedeinem Ort hängt. ... Zu jedem gegebenen Zeitpunkt t ... wird eine bestimmte Temperatur T ... angezeigt. ... Jedem Zeitpunkt t ist eine Temperatur T zugeordnet." (www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html, 14.08.21)

 

Genauer gesagt gilt für die Abhängigkeiten von einer Größe in der Natur, dass es dort oft Störeinflüsse gibt (sehr kleine Abhängigkeiten von anderen Größen), die aber nicht berücksichtigt werden müssen, weil sie so klein sind.

"Die Bearbeitung eines realen Problems mit mathematischen Methoden hat auch
Grenzen, da die komplexe Realität nicht vollständig in einem mathematischen Modell abgebildet werden kann. Dies ist in der Regel auch nicht erwünscht. Ein Grund für das Erstellen von Modellen ist gerade die Möglichkeit einer überschaubaren Verarbeitung der realen Daten." (Ferri, R. B., Greefrath, G., & Kaiser, G. (Eds.). (2013). Mathematisches Modellieren für Schule und Hochschule: theoretische und didaktische Hintergründe. Springer-Verlag, S. 13)

 

Wenn es aber um die Abhängigkeit einer Größe von der Zeit geht, dann gibt es zu jedem Zeitpunkt nur einen Wert dieser Größe. Z. B. bei einer Beziehung zwischen einem Zeitpunkt und der Temperatur fragt man sich: "Wenn sich der Zeitpunkt verändert, wie ändert sich dann die Temperatur?" Weil sich beide ändern, werden Zeitpunkt und Temperatur als Variablen bezeichnet. Der Zeitpunkt die unabhängige Variable und die Temperatur ist die abhängige Variable (die Temperatur hängt vom Zeitpunkt ab). Die Abhängigkeit eines Messwertes von der Zeit ist das beste Beispiel für die Definition einer Funktion: An jedem Zeitpunkt kann es nur einen Messwert geben, zwei verschiedene Messwerte zum gleichen Zeitpunkt sind nicht möglich. Nur einer kann der richtige sein.

 

Definition: Eine Funktion f(x) ist dann gegeben, wenn jedem Element x einer Definitionsmenge genau ein Element y einer Wertemenge zugeordnet ist.

 

Wenn die Definitionsmenge A und die Wertemenge B genannt wird, dann schreibt man für die Zuordnung, also für die Funktion f : A → B.

 

Wenn klar ist, was die Definitionsmenge und die Wertemenge sind, dann schreibt man vereinfacht: die Funktion y = f(x), wobei f die Zuordnung darstellt, f(x) den Funktionswert und y = f(x) die Funktionsgleichnug.

 

"Wenn klar ist, was A und B sind, oder wenn Definitions- und Zielmenge gerade nicht so wichtig sind, sprechen wir auch von „der Funktion y = f(x)“. Streng genommen ist dabei nur f die Funktion (Zuordnung), f(x) ist der Funktionswert an der Stelle x und y = f(x) ist die zugehörige Funktionsgleichung. Obwohl also „die Funktion y = f(x)" oder „die Funktion f(x)“ im heutigen Sinn nicht ganz präzise ist, werden wir diese eingängige und übliche Bezeichnung bewusst verwenden, weil sonst Formulierungen zwar vielleicht exakter, aber oft schwieriger und unverständlicher würden; es ist dann dem Kontext zu entnehmen, ob mit f(x) eine Funktion oder ein spezieller Funktionswert gemeint ist." (Humenberger, H., Schuppar, B. (2019) Mit Funktionen Zusammenhänge beschreiben. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, S. 11)